已知等差数列{an}满足:a2=5,a4+a6=22,数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan,设数列{bn}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求满足13<Sn<14的n的集合.
(I)∵a2=5,a4+a6=22,
∴a1+d=5,(a1+3d)+(a1+5d)=22,
解得:a1=3,d=2.
∴
=2n+1…(2分)a n
在b1+2b2+…+2n-1bn=nan
中令n=1得:b1=a1=3,
又b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1,
∴2nbn+1=(n+1)an+1一nan.
∴2nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,
∴bn+1=
,4n+3 2n
∴bn=
(n≥2),…(5分)4n-1 2n-1
经检验,b1=3也符合上式,
所以数列{bn}的通项公式为bn=
…(6分)4n-1 2n-1
(Ⅱ)Sn=3+7•
+…+(4n-1)•(1 2
)n-1,1 2
Sn=3•1 2
+7•(1 2
)2+…+(4n一5)•(1 2
)n-1+(4n一1)(1 2
)n.…(8分)1 2
两式相减得:
Sn=3+4[1 2
+(1 2
)2+…+(1 2
)n-1]一(4n一1)(1 2
)n,1 2
∴
Sn=3+4•1 2
-(4n-1)(
[1-(1 2
)n-1]1 2 1- 1 2
)n,1 2
∴Sn=14-
. …(10分)4n+7 2n-1
∴∀n∈N*,S<14.
∵数列{bn}的各项为正,
∴Sn单调递增,
又计算得S5=14-
<13,S6=14-27 16
>13,31 32
满足13<Sn<14的n的集合为{n|n≥6,n∈N}.