问题 解答题

已知等差数列{an}满足:a2=5,a4+a6=22,数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan,设数列{bn}的前n项和为Sn

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求满足13<Sn<14的n的集合.

答案

(I)∵a2=5,a4+a6=22,

∴a1+d=5,(a1+3d)+(a1+5d)=22,

解得:a1=3,d=2.

a n
=2n+1…(2分)

b1+2b2+…+2n-1bn=nan

中令n=1得:b1=a1=3,

又b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1

∴2nbn+1=(n+1)an+1一nan

∴2nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,

bn+1=

4n+3
2n

bn=

4n-1
2n-1
(n≥2),…(5分)

经检验,b1=3也符合上式,

所以数列{bn}的通项公式为bn=

4n-1
2n-1
…(6分)

(Ⅱ)Sn=3+7•

1
2
+…+(4n-1)•(
1
2
n-1

1
2
Sn=3•
1
2
+7•(
1
2
2+…+(4n一5)•(
1
2
n-1+(4n一1)(
1
2
n.…(8分)

两式相减得:

1
2
Sn=3+4[
1
2
+(
1
2
2+…+(
1
2
n-1]一(4n一1)(
1
2
n

1
2
Sn=3+4•
1
2
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(4n-1)(
1
2
)n

∴Sn=14-

4n+7
2n-1
.    …(10分)

∴∀n∈N*,S<14.

∵数列{bn}的各项为正,

∴Sn单调递增,

又计算得S5=14-

27
16
<13,S6=14-
31
32
>13

满足13<Sn<14的n的集合为{n|n≥6,n∈N}.

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