（Ⅰ）证明：∵f(x)=

1

4x+2

，

∴f(1-x)=

1

41-x+2

=

4x

4+2•4x

=

4x

2(4x+2)

，

∴f(x)+f(1-x)=

1

4x+2

+

4x

2(4x+2)

=

2+4x

2(4x+2)

=

1

2

．

故答案为

1

2

．．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)+f(1-x)=

1

2

，

∴f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，

即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

．

∴ak+am-k=

1

2

，

am=f(

m

m

)=f(1)=

1

6

，

又S_m=a₁+a₂++a_m-1+a_m①S_m=a_m-1+a_m-2++a₁+a_m②

①+②得2Sm=(m-1)×

1

2

+2am=

m

2

-

1

6

，

∴答案为Sm=

1

12

(3m-1)；

（Ⅲ）∵b1=

1

3

，bn+1=

b

2n

+bn=bn(bn+1)③

∴对任意n∈N^*，b_n＞0④

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，

∴

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，

∴Tn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=3-

1

bn+1

∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n．

∴数列{b_n}是单调递增数列．∴T_n关于n递增，

∴当n≥2，且n∈N^*时，T_n≥T₂．

∵b1=

1

3

，b2=

1

3

(

1

3

+1)=

4

9

，b3=

4

9

(

4

9

+1)=

52

81

，

∴Tn≥T2=3-

1

b3

=

75

52

．（14分）

由题意Sm＜

75

52

，即

1

12

(3m-1)＜

75

52

，

∴m＜

238

39

=6

4

39

∴m的最大值为6．

故答案为6．