在数列{an}中，其前n项和Sn与an满足关系式：（t-1）Sn+（2t+1）a

问题解答题

在数列{a_n}中，其前n项和S_n与a_n满足关系式：（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t（t＞0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），已知数列{b_n}，b1=1，bn+1=3f(

) (n=1，2，3，…)，求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1的值．

答案

证明：（Ⅰ）当n=1时，（t-1）S₁+（2t+1）a₁=t，∴a₁=

当n≥2时，（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t，（t-1）S_n-1+（2t+1）a_n-1=t

∴（t-1）a_n+（2t+1）a_n-（2t+1）a_n-1=0

∴3ta_n=（2t+1）a_n-1，t＞0

∴

an-1

2t+1

，a1=

∴数列{a_n}是以

2t+1

为公比，

为首项的等比数列；

（II）由（Ⅰ）可知，f(t)=

2t+1

(t＞0)，bn+1=3f(

)，则b_n+1=b_n+2

所以，数列{b_n}是以2为公差，首项为1的等差数列

即b_n=2n-1

①当n为奇数时，

b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1

=b₁b₂+b₃（b₄-b₂）+b₅（b₆-b₄）+…+b_n（b_n+1-b_n-1）

=3+4（b₃+b₅+…+b_n）

=2n²+2n-1

②当n为偶数时，

b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1

=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）

=-4（b₂+b₄+…+b_n）

=-（2n²+2n）

所以，原式=

2n2+2n-1 n为奇数

-(2n2+2n) n为偶数