（1）∵a1=

1

2

，a2=

1

5

，an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)

∴a₃=

1

8

，a₄=

1

11

，

猜想an=

1

3n-1

，利用数学归纳法证明如下：

①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；

②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=

1

3k-1

则n=k+1时，ak+1=

(k-1)ak

k-2ak

=

(k-1)• 1 3k-1

k-2• 1 3k-1

=

k-1

(3k+2)(k-1)

=

1

3(k+1)-1

∴n=k+1时，结论成立

综上，an=

1

3n-1

；

（2）证明：bn=

an•an+1

an + an+1

=

1

3

（

3n+2

-

3n-1

）

∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[（

5

-

2

）+（

8

-

5

）+…+（

3n+2

-

3n-1

）]=

1

3

（

3n+2

-

2

）

要证b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

，只需证明

1

3

（

3n+2

-

2

）＜

3n-1

3

即证

3n+2

-

2

＜

3n-1

即证3n+2-2

6n+4

＜3n-1

即证

6n+4

＞

3

2

，显然成立

∴b₁+b₂+…+b_n＜

3n-1

3

．