问题 解答题
在数列{an}中a1=
1
2
a2=
1
5
,且an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)

(1)求a3、a4,并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
anan+1
an
+
an+1
,求证:对∀n∈N*,都有b1+b2+…bn
3n-1
3
答案

(1)∵a1=

1
2
a2=
1
5
an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)

∴a3=

1
8
,a4=
1
11

猜想an=

1
3n-1
,利用数学归纳法证明如下:

①显然当n=1,2,3,4时,结论成立;

②假设当n=k(k≥3)时,结论成立,即ak=

1
3k-1

则n=k+1时,ak+1=

(k-1)ak
k-2ak
=
(k-1)•
1
3k-1
k-2•
1
3k-1
=
k-1
(3k+2)(k-1)
=
1
3(k+1)-1

∴n=k+1时,结论成立

综上,an=

1
3n-1

(2)证明:bn=

anan+1
an
+
an+1
=
1
3
3n+2
-
3n-1

∴b1+b2+…+bn=

1
3
[(
5
-
2
)+(
8
-
5
)+…+(
3n+2
-
3n-1
)]=
1
3
3n+2
-
2

要证b1+b2+…bn

3n-1
3
,只需证明
1
3
3n+2
-
2
3n-1
3

即证

3n+2
-
2
3n-1

即证3n+2-2

6n+4
<3n-1

即证

6n+4
3
2
,显然成立

∴b1+b2+…+bn

3n-1
3

选择题
判断题