问题
问答题
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．问：
(1)汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深
(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深(注：m表示长度单位米)
答案
参考答案：[详解] (1)[*]
[*]
由W2=rW1得 [*]
所以 x22=(1+r)a2．
[*]
由W3=rW2=r2W1得
[*]
所以 x32=(1+r+r2)a2，
所以 [*]
(2)假设 [*]
则[*]
Wn+1=rWn=…=rnW1，
所以[*]
所以 [*]
于是 [*]
所以，若不限制击打次数，汽锤至多将桩打进地下[*](米)．
解析：
[分析]： 设第n次击打，桩被打入地下xn．汽锤所作的功为Wn．由已知条件知：Wn=rWn-1．
[评注] 本题是用定积分求功及序列极限的综合应用题．而积分的几何应用及物理应用是历年常考的题型．