参考答案：[详解] (1)由题设，有[*]，令P=[α₁，α₂，α₃]，其中[*][*]，则Aα₁=1·α₁，Aα₂=2·α₂，Aα₃=-1·α₃，即α₁，α₂，α₃分别是属于三个不同特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-1的特征向量．而A为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，即
[*]
又A^*α=λ₀α，而α=-α₃，于是有A^*(-α₃)=λ₀(-α₃)，即A^*α₃=λ₀α₃，
从而AA^*α₃=λ₀α₃，|A|α₃=λ₀Aα₃，可见[*]
因此有[*]，故λ₀=2．
(2)由Aα₁=1·α₁，Aα₂=2·α₂，Aα₃=-1·α₃，及[*]
有A[α₁，α₂，α₃]=[α₁，2α₂，-α₃]，于是
A=[α₁，2α₂，-α₃][α₁，α₂，α₃]^-1
[*]
故有 [*]
(3)由Aα_i=λ_iα_i，i=1，2，3，有[*]，进而有[*]可见A^*+E的特征值为[*]，即μ₁=-1，μ₂=0，μ₃=3，故|A^*+E|=μ₁μ₂μ₃=0．

解析：

[分析]： 本题关键条件是A为实对称矩阵，而[*]，相当于已知A的三个特征值，且P的每列为对应特征向量，再根据不同特征值对应特征向量是正交的，可确定参数a，b．然后利用特征值与特征向量的定义可求出λ₀．至于[*]，只需求出A即可．而行列式|A^*+E|利用特征值或相似矩阵均可计算．
[评注] 与A^*有关的问题，一般均可考虑利用关系式AA^*=A^*A=|A|E进行化简．