问题
问答题
某系统Q由两个子系统q1与q2联接组成，联接的方式有三种：1)q1，q2串联；2)q1，q2并联；3)q1与q2一个工作一个备用．已知子系统q1，q2的寿命X，Y均服从指数分布，其概率密度分别为
其中常数a＞0，b＞0，且a≠b．设系统Q的寿命为Z，分别求三种情况下，Q的寿命Z的概率密度．
答案
参考答案：[详解] (1)因q1，q2串联，其中一个损坏，系统便停止工作，所以Q的寿命Z=min(X，Y)．因为
[*]
于是有 Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]，
故 fmin(z)=fx(z)[1-FY(z)]+fY(z)[1-FX(z)]
[*]
(2)因q1，q2并联，当q1与q2均损坏时，系统才停止工作，所以Q的寿命Z=max(X，Y)．
于是有 Fmax(Z)=FX(z)FY(z)，
故 fmax(z)=fX(z)FY(z)+fY(z)FX(z)
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(3)因为当q1损坏时，q2立即开始工作，当q2也损坏时，系统Q才停止工作．故Z=X+Y，于是
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故 [*]
解析：
[分析]： 本题实质上为求随机变量函数的分布，q1，q2串联，意指寿命Z=min(X，Y)；q1，q2并联，意指寿命Z=max(X，Y)；而当q1损坏时，q2立即开始工作，意指Z=X+Y．
[评注] 对于常见二维随机变量函数的分布，如Z=min{X，Y}，Z=max{X，Y)，Z=X+Y等应作为公式加以记忆．