问题
解答题
已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=
(1){bn}的通项公式; (2)设Tn为数列{cn}的前n项和,cn=
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答案
(1)∵Sn=
n2+1 2
n,∴当n=1时,a1=S1=6;11 2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
n2+1 2
n-11 2
(n-1)2-1 2
(n-1)=n+511 2
经验证,当n=1时,上式也适合,
∴an=n+5;
∵bn+2=2bn+1-bn,∴bn+1=
,bn+bn+2 2
∴{bn}是等差数列,设其公差为d.
则
解得b1+2d=11 9b1+36d=153
,b1=5 d=3
∴bn=5+3(n-1)=3n+2.
(2)∵cn=
=6 (2an-11)(2bn-1) 6 [2(n+5)-11][2(3n+2)-1]
=
=2 (2n-1)(2n+1)
-1 2n-1 1 2n+1
∴Tn=(1-
)+(1 3
-1 3
)+(1 5
-1 5
)+…+(1 7
-1 2n-1
)=1-1 2n+1 1 2n+1
∵n∈N+,∴Tn是单调递增数列,
∴当n=1时,(Tn)min=T1=1-
=1 3 2 3
∴Tn>
对∀n∈N+都成立,等价于(Tn)min>k 57
成立,k 57
即
>2 3
,解得k<38k 57
∴所求最大正整数k的值为37.