问题 解答题
已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=
1
2
n2+
11
2
n
;数列满足:b3=11,bn+2=2bn+1-bn,其前9项和为153
(1){bn}的通项公式;
(2)设Tn为数列{cn}的前n项和,cn=
6
(2an-11)(2bn-1)
,求使不等式T n
k
57
对∀n∈N+都成立的最大正整数k的值.
答案

(1)∵Sn=

1
2
n2+
11
2
n,∴当n=1时,a1=S1=6;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=

1
2
n2+
11
2
n-
1
2
(n-1)2-
11
2
(n-1)
=n+5

经验证,当n=1时,上式也适合,

∴an=n+5;

∵bn+2=2bn+1-bn,∴bn+1=

bn+bn+2
2

∴{bn}是等差数列,设其公差为d.

b1+2d=11
9b1+36d=153
解得
b1=5
d=3

∴bn=5+3(n-1)=3n+2.

(2)∵cn=

6
(2an-11)(2bn-1)
=
6
[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

2
(2n-1)(2n+1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1

∴Tn=(1-

1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)=1-
1
2n+1

∵n∈N+,∴Tn是单调递增数列,

∴当n=1时,(Tnmin=T1=1-

1
3
=
2
3

Tn

k
57
对∀n∈N+都成立,等价于(Tnmin
k
57
成立,

2
3
k
57
,解得k<38

∴所求最大正整数k的值为37.

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