问题
解答题
求证：双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．并说明你的证明中的主要步骤（三步）．
答案
证明：设曲线xy=k（k≠0）上任意一点的坐标是P（x0，y0），
由题意可得：xy=k可以变形为：y=
，k x
对函数y=
求导数可得 y′=-k x
，k x2
所以切线的方程是 y-y0=-
(x-x0)．k x 20
因为x0y0=k，可以得出切线在x轴与y轴的截距分别是x截距=x0+-
=2x0，
y0x 20 a2
y截距=y0+
=k x0
=x0y0+k x0
，2k x0
所以根据三角形的面积公式可得：所求三角形的面积为2k，
所以双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．