已知函数f（x）=x2-ax+b（a，b∈R）的图象经过坐标原点，且f′（x）=

问题解答题

已知函数f（x）=x²-ax+b （a，b∈R）的图象经过坐标原点，且f′_（x）=1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+1+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和．

答案

（I）∵y=f（x）的图象过原点，∴f（x）=x²-ax

由f′_（x）=2x-a得f′_（x）=2-a=1，∴a=1，∴f_（x）=x²-x（3分）

∴S_n=n²-n，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，（n≥2）（4分）

∵a₁=S₁=0，所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N⁺）．（6分）

（II）由a_n+1+log₃ⁿ=

log

bn3

得b_n=n-3²ⁿ，（8分）

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-3²+2-3⁴+3-3⁶+…+n-3²ⁿ （1）（9分）

∴9T_n=3⁴+2-3⁶+3-3⁸+…+n-3²ⁿ⁺² （2），（10分）

（2）-（1）得8T_n=n-3²ⁿ⁺²-9-（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ ）=n-3²ⁿ⁺²-

32n+2-34

，（11分）

∴T_n=

n-32n+2

32n+2-81

(8n-1)32n+9

．（12分）