问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（1）=1，f（-1）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥x成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-mx（m∈R），且g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，求实数m的取值范围．
答案
（1）由题意得：
，则b=a+c=a+b+c=1 a-b+c=0
，1 2
又对任意实数x，都有f（x）≥x，即ax2-
x+c≥0，1 2
则必须
⇒a＞0 △=
-4ac≤01 4
，a＞0 ac≥ 1 16
于是c＞0，所以
=a+c≥21 2
⇒ac≤ac
，1 16
所以只有ac=
，与a+c=1 16
联立解得：a=c=1 2
，1 4
综上可得：a=
，b=1 4
，c=1 2
；1 4
（2）由（1）解得：f（x）=
x2+1 4
x+1 2
，于是g（x）=f（x）-mx=1 4
[x2+(2-4m)x+1]，1 4
要使g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，则必须：
对称轴x=2m-1≤-1或2m-1≥1，解得：m≤0或m≥1，
则所求的实数m的范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．