设{an}是各项都为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a3+

问题解答题

设{a_n}是各项都为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n-b_n}的前n项和T_n．

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，等差数列{b_n}的公差为d，

∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．

∴q²+（1+4d）=21，q⁴+（1+2d）=25

解之得q=2，d=4（舍去负值）

∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，b_n=b₁+（n-1）d=4n-3

即数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，{b_n}的通项公式b_n=4n-3；

（2）由（1）得{a_n}的前n项和S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，

∴S_n-b_n=2ⁿ-1-（4n-3）=2ⁿ-4n+2

因此，{S_n-b_n}的前n项和为

T_n=（2¹-4×1+2）+（2²-4×2+2）+…+（2ⁿ-4×n+2）

=（2+2²+…+2ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n

=2ⁿ⁺¹-2-4×

n(n+1)

+2n=2ⁿ⁺¹-2n²-2．