问题 解答题
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率e>1+
2
,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线的左支上找一点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?
答案

设在左支上存在P点,使|PF1|2=|PF2|•d,由双曲线的第二定义知

|PF1|
d
=
|PF2|
|PF1|
=e,即|PF2|=e|PF1|①

再由双曲线的第一定义,得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①②,解得|PF1|=

2a
e-1
,|PF2|=
2ae
e-1

∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,

2a
e-1
+
2ae
e-1
≥2c.③

利用e=

c
a
,由③得e2-2e-1≤0,

解得1-

2
≤e≤1+
2

∵e>1,

∴1<e≤1+

2
与已知e>1+
2
矛盾.

∴在双曲线左支上找不到点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项.

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题