已知在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1且4Sn=an•an

问题解答题

已知在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1且4S_n=a_n•a_n+1+1．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）令b_n=a_n•3^n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n．

答案

（1）∵4S_n=a_n•a_n+1+1 ①

∴4S_n-1=a_n-1a_n+1②

②-①得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）

∵a_n≠0

∴a_n+1-a_n-1=4

∵a₁=1得a₂=3

∴奇数项成以4为公差的等差数列；偶数项成以4为公差的等差数列

∴an=

1+4(

n+1

-1)=2n-1(n为奇数)

3+4(

-1)=2n-1(n为偶数)

∴a_n=2n-1

（2）∴b_n=（2n-1）•3^n-1

∴T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+..+（2n-1）×3^n-1

3T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ

∴-2T_n=1×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ

∴-2Tn=

2(1-3n)

1-3

-(2n-1)×3n-1

所以T_n=（n-1）3ⁿ+1