问题
问答题
设二次型
，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a，b的值；
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
答案
参考答案：
(1)二次型f的矩阵为
．设A的特征值为λi(i=1，2，3)，由题设，
(2)由矩阵A的特征多项式
得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3．
对于λ=2，由
得到属于λ=2的线性无关的特征向量α1=(0，1，0)T，α2=(2，0，1)T．
对于λ=-3，由
得到属于λ=-3的特征向量α3=(1，0，-2)T．
由于α1，α2，α3已两两正交，故只需单位化，有
那么，令
有
二次型的标准形为
