问题
解答题
| 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，S3=39． （1）求数列{an}通项公式； （2）若在an与an+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：
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答案
（Ⅰ）∵a1=3，S3=39，∴q≠1，
=39，3(1-q3) 1-q
∴1+q+q2=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故an=3n．…（6分）
（Ⅱ）∵an=3n，则an+1=3n+1，由题知：
an+1=an+（n+1）dn，则dn=
．2×3n n+1
由上知：
=1 dn
，n+1 2×3n
所以Tn=
+1 d1
+…+1 d2
=1 dn
+2 2×3
+…+3 2×32
，n+1 2×3n
Tn=1 3
+2 2×32
+…+3 2×33
，n+1 2×3n+1
所以
Tn=2 3
+1 3
(1 2
+1 3 2
+…+1 3 3
)-1 3 n n+1 2×3n+1
=
+1 3
×1 2
-
[1-(1 9
)n-1]1 3 1- 1 3 n+1 2×3n+1
=
-5 12
，5+2n 4×3n+1
所以Tn=
-5 8
＜5+2n 8×3n
．5 8
故
+1 d1
+…+1 d2
＜1 dn
．…（12分）5 8