参考答案：

[证法一] (定义法)若有一组数k，k₁，k₂，…，k_t，使得

kβ+k₁(β+α₁)+k₂(β+α₂)+…+k_t(β+α_t)=0， (1)

则因α₁，α₂，…，α_t是Ax=0的解，知Aα_i=0(i=1，2，…，t)，用A左乘上式的两边，有

(k+k₁+k₂+…+k_t)Aβ=0

由于Aβ≠0，故

k+k₁+k₂+…+k_t=0 (2)

对(1)重新分组为(k+k₁+k₂+…+k_t)β+k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t=0 (3)

把(2)代入(3)，得k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t=0

由于α₁，α₂，…，α_t是基础解系，它们线性无关，故必有k₁=0，k₂=0，…，k_t=0．

代入(2)式得：k=0．

因此，向量组β，β+α₁，…，β+α_t线性无关．

[证法二] (用秩)经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有

(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t)→(β，α₁，α₂，…，α_t)．

因此r(β，β+α₁，…，β+α_t)=r(β，α₁，…，α_t)

由于α₁，α₂，…，α_t是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α₁，α₂，…，α_t)=t，又β必不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出(否则Aβ=0)，故r(α₁，α₂，…，α_t，β)=t+1．

所以r(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t)=t+1．

即向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关，