设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
参考答案:
[证法一] (定义法)若有一组数k,k1,k2,…,kt,使得
kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0, (1)
则因α1,α2,…,αt是Ax=0的解,知Aαi=0(i=1,2,…,t),用A左乘上式的两边,有
(k+k1+k2+…+kt)Aβ=0
由于Aβ≠0,故
k+k1+k2+…+kt=0 (2)
对(1)重新分组为(k+k1+k2+…+kt)β+k1α1+k2α2+…+ktαt=0 (3)
把(2)代入(3),得k1α1+k2α2+…+ktαt=0
由于α1,α2,…,αt是基础解系,它们线性无关,故必有k1=0,k2=0,…,kt=0.
代入(2)式得:k=0.
因此,向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.
[证法二] (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第1列的-1倍分别加至其余各列,有
(β,β+α1,β+α2,…,β+αt)→(β,α1,α2,…,αt).
因此r(β,β+α1,…,β+αt)=r(β,α1,…,αt)
由于α1,α2,…,αt是基础解系,它们是线性无关的,秩r(α1,α2,…,αt)=t,又β必不能由α1,α2,…,αt线性表出(否则Aβ=0),故r(α1,α2,…,αt,β)=t+1.
所以r(β,β+α1,β+α2,…,β+αt)=t+1.
即向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关,