问题
问答题
设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
答案
参考答案：
[证法一] (定义法)若有一组数k，k1，k2，…，kt，使得
kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0， (1)
则因α1，α2，…，αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，用A左乘上式的两边，有
(k+k1+k2+…+kt)Aβ=0
由于Aβ≠0，故
k+k1+k2+…+kt=0 (2)
对(1)重新分组为(k+k1+k2+…+kt)β+k1α1+k2α2+…+ktαt=0 (3)
把(2)代入(3)，得k1α1+k2α2+…+ktαt=0
由于α1，α2，…，αt是基础解系，它们线性无关，故必有k1=0，k2=0，…，kt=0．
代入(2)式得：k=0．
因此，向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
[证法二] (用秩)经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有
(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)→(β，α1，α2，…，αt)．
因此r(β，β+α1，…，β+αt)=r(β，α1，…，αt)
由于α1，α2，…，αt是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α1，α2，…，αt)=t，又β必不能由α1，α2，…，αt线性表出(否则Aβ=0)，故r(α1，α2，…，αt，β)=t+1．
所以r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=t+1．
即向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关，
