问题
问答题
设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为
而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T．
(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；
(2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
答案
参考答案：
[解] (1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有
由于n-r(A)=4-2=2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取x3，x4为自由变量，所以β1=(5，-3，1，0)T，β2=(-3，2，0，1)T是方程组(Ⅰ)的基础解系．
(2)设η是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解，则
η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均不全为零的常数，那么k1β1+k2β2-l1α1-l2α2=0．
由此得齐次方程组(Ⅲ)
有非零解．对系数矩阵作初等行变换，有
当且仅当a+1=0时，r(Ⅲ)＜4，方程组有非零解．
此时，(Ⅲ)的同解方程组是
于是
其中l1，l2为任意实数．