问题
问答题
设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组
的非零解向量。试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
答案
参考答案：
[解] 设k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0 (1)
因为β为方程组的非零解，有
即β≠0，βTα1=0，…，βTαr=0。
用βT左乘(1)，并把βTαi=0代入，得lβTβ=0．
因为β≠0，有βTβ＞0，故必有l=0．
从而(1)式为k1α1+k2α2+…+krαr=0，由于α1，α2，…，αr线性无关，所以有
k1=k2=…=kr=0．
因此向量组α1，α2，…，αr，β线性无关．
