（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，

当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1

x2

（a为实数）．

∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．

f(x)=-f(-x)=-(-2ax+

1

x2

)=2ax-

1

x2

…（3分）

（II）∵x∈（0，1]时，f(x)=2ax- 

1

x2

，

∴f′(x)=2a+

2

x3

，

因为f（x）在（0，1]上是增函数，

所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，

即a≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，

令g(x)=-

1

x3

，x∈(0，1]，

g（x）在（0，1]上是单调增函数，

所以[g（x）]_max=g（1）=-1，

所以a≥-1．…（8分）

（Ⅲ）①当a≥-1时，

由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，

所以[f（x）]_max=f（1）=-6，

解得a=-

5

2

，与a≥-1矛盾．…（10分）

②当a＜-1时，

令f'（x）=0，x=

3	- 1 a

∈(0，1]，

当x∈(0，

3	- 1 a

 )时，

f′(x)=2(a+

1

x3

)＞0，f（x）是增函数，

当x∈(

3	- 1 a

，1 )时，

f′(x)=2(a+

1

x3

)＜0，f（x）是减函数．

所以[f(x)]max=f(

3	- 1 a

)=-6，

即2a

3	- 1 a

-

1

( 3 - 1 a )2

=-6，

解得

3	- 1 a

=

2

2

，a=-2

2

．

综上，存在a=-2

2

，

使得当x∈（0，1]时，

f（x）有最大值-6．…（14分）