问题 解答题
已知数列{an}是首项a1=a,公差为2的等差数列,数列{bn}满足2bn=(n+1)an
(1)若a1、a3、a4成等比数列,求数列{an}的通项公式;
(2)若对任意n∈N*都有bn≥b5成立,求实数a的取值范围;
(3)数列{cn}满足 cn+1-cn=(
1
2
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,当a=-20时,求f(n)的最小值(n∈N*).
答案

(1)因为a1、a3、a4成等比数列,所以a1•a4=a32,即a•(a+6)=(a+4)2,a=-8.

所以an=-8+(n-1)×2=2n-10…(4分)

(2)由2bn=(n+1)anbn=n2+

a
2
n+
a-2
2
=(n+
a
4
)2-(
a-4
4
)2
,…(6分)

由题意得:

9
2
≤-
a
4
11
2
,-22≤a≤-18…(10分)

(3)因为cn+1-cn=(

1
2
)n

所以cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=1+

1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-2+(
1
2
)n-1=
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
=2-
1
2n-1
…(13分)

所以f(n)=bn+cn=n2+

a
2
n+
a-2
2
+2-(
1
2
)n-1

f(n+1)=(n+1)2+

a
2
(n+1)+
a-2
2
+2-(
1
2
)n-1f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+2-(
1
2
)
n
]
-[n2+
a
2
n+
a-2
2
+2-(
1
2
)
n-1
]
=2n+1+(
1
2
)n-10=2n+(
1
2
)n-9
…(14分)

所以当k>10时,f(n+1)-f(n)=2n+(

1
2
)n-9>0

即f(5)<f(6)<…<f(n)<…(15分)

所以当1≤n≤4时,f(n+1)-f(n)=2n+(

1
2
)n-9<8+
1
2
-9<0

即f(1)>f(2)>f(3)>f(4)…(16分)

f(n)=n2+

a
2
n+
a-2
2
+2-(
1
2
)n-1=n2-10n-9-(
1
2
)n-1

所以 f(5)-f(4)<0,所以f(n)min=f(5)=-

545
16
…(18分)

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