（1）当a=0时，f（x）=x²，f（-x）=f（x），函数是偶函数．…（2分）

当a≠0时，f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；

f（-1）-f（1）=-2a≠0，

∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…（5分）

∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）

（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x²+

1

x

．…（7分）

任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，…（8分）

则f（x₁）-f（x₂）=

x

21

+

1

x1

-(

x

22

+

1

x2

)=(x1-x2)(x1+x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)[(x1+x2)-

1

x1x2

]，…（11分）

由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞

1

x1x2

，…（12分）

所以f（x₁）＜f（x₂），…（13分）

故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…（14分）