问题 解答题
已知函数f(x)=x2+
a
x
(x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.
答案

(1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.…(2分)

当a≠0时,f(x)=x2+

a
x
(x≠0,常数a∈R),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;

f(-1)-f(1)=-2a≠0,

∴f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1).…(5分)

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.…(6分)

(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+

1
x
.…(7分)

任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,…(8分)

则f(x1)-f(x2)=

x21
+
1
x1
-(
x22
+
1
x2
)=(x1-x2)(x1+x2)+
x2-x1
x1x2
=(x1-x2)[(x1+x2)-
1
x1x2
]
,…(11分)

由于x1≥2,x2≥2,且x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2

1
x1x2
,…(12分)

所以f(x1)<f(x2),…(13分)

故f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.…(14分)

填空题
填空题