问题
解答题
已知函数F(x)=
（1）求F(
（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式； （3） 求证：a1a2a3…an＞
|
答案
（1）因为F(x)+F(1-x)=
+3x-2 2x-1
=3，3(1-x)-2 2(1-x)-1
所以由倒序相加可得：2[F(
)+F(1 2011
)+…+F(2 2011
)]2010 2011
=[F（
）+F（1 2011
）]+…+[F（2010 2011
）+F（2010 2011
）]1 2011
=3×2010=6030，
则F(
)+F(1 2011
)+…+F(2 2011
)=3015；2010 2011
（2）由an+1=F（an），两边同时减去1，得an+1-1=
，an-1 2an-1
所以
=1 an+1-1
=2+2an-1 an-1
，1 an-1
故{
}是以2为公差、1为首项得等差数列．1 an-1
所以
=2n-1，由此an=1 an-1 2n 2n-1
（3）因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1），
所以
＞2n 2n-1
，于是2n+1 2n
＞2 1
，3 2
＞4 3
，…，5 4
＞2n 2n-1 2n+1 2n
所以a1a2…an=
=(a1a2…an)2
•2 1
•2 1
•4 3
…4 3
•2n 2n-1 2n 2n-1
＞
=
•2 1
•3 2
…4 3
•2n 2n-1 2n+1 2n
．2n+1