已知数列{an}满足：a1=6，an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)，（

问题解答题

已知数列{a_n}满足：a₁=6，an+1=

n+2

an+(n+1)(n+2)，
（1）求a₂，a₃；
（2）若dn=

n(n+1)

，求数列{d_n}的通项公式；
（3）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示组合数），求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）a₂=24，a₃=60（4分）

（2）an+1=

n+2

an+(n+1)(n+2)

两边同时除以（n+1）（n+2）可得

an+1

(n+2)(n+1)

n(n+1)

d_n+1-d_n=1（3分）

所以{d_n}是等差数列，且d1=

1•2

=3，

所以d_n=3+（n-1）=n+2（3分）

（3）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）（1分）

a_n=kC³_n+2=k•

n(n+1)(n+2)

，k=6（2分）

即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³（1分）

所以，S_n=a₁+a₂+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）（1分）

=6C_n+3⁴（2分）

n(n+1)(n+2)(n+3)

（1分）