已知数列{an}中，a1=1，且点（an，an+1）在函数f（x）=x+2的图象

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）在数列{a_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，按取出顺序组成新的数列{b_n}，写出数列{b_n}的前三项b₁，b₂，b₃，并求数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，

∴a_n+1=a_n+2．（2分）．

∴a_n+1-a_n=2，即数列a_n是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）．

∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）

（Ⅱ）依题意知：b₁=1，b₂=3，b₃=7

bn=2•2^n-1-1=2ⁿ-1

所以S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）

=2ⁿ⁺¹-n-2

即数列{b_n}的前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2