问题
解答题
已知数列{bn}满足条件：首项b1=1，前n项之和Bn=
（1）求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{an}的满足条件：an=（1+
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答案
（1）当n＞1时，bn=Bn-Bn-1
=
-3n2-n 2
=3n-23(n-1)2-(n-1) 2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+
）an-1，得1 bn
=1+an an-1 1 bn
∴an=
•an an-1
•an-1 an-2
a1a2 a1
由a1=2，bn=3n-2知，
an=（1+
）（1+1 3n-2
）（1+1 3n-5
）21 4
=（1+1）（1+
）（1+1 4
）1 3n-2
又
=3 bn+1
=3 3(n+1)-2
，（5分）3 3n+1
设cn=
，3 3n+1
当n=1时，有（1+1）=
＞3 8
=3 3×1+1 3 4
当n=2时，有an=（1+1）（1+
）=1 4 5 2
=
＞3 125 8
=3 56 8
=cn3 3×2+1
假设n=k（k≥1）时an＞cn成立，
即（1+1）（1+
）（1+1 4
）＞1 3k-2
成立，3 3k+1
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+
）（1+1 4
）（1+1 3k-2
）1 3(k+1)-2
＞
（1+3 3k+1
）=1 3(k+1)-2 3 3k+1
（3分）3k+2 3k+1
右边=ck+1=
=3 3(k+1)+1 3 3k+4
由（ak+1）3-（ck+1）3=（3k+1）
-（3k+4）(3k+2)3 (3k+1)3
=(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2 (3k+1)2
=
＞0，得ak+1＞ck+1成立．9k+4 (3k+1)2
综合上述，an＞cn对任何正整数n都成立．（3分）