已知数列{an}，{bn}分别为等差和等比数列，且a1=1，d＞0，a2=b2，

问题解答题

已知数列{a_n}，{b_n}分别为等差和等比数列，且a₁=1，d＞0，a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄（n∈N^*）．

（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

答案

（1）∵a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄，b₂，b₃，b₄成等比数列

∴a₂，a₅，a₁₄成等比数列

∵a₁=1

∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）²

∵d＞0

解可得d=2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1

∵a₂=b₂=3，a₅=b₃=9

∴q=3，bn=b2qn-2=3•3^n-2=3^n-1

（2）设c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1

∴s_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1

3s_n=1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ

两式相减可得，-2s_n=1+2（3+3²+…+3^n-1-（2n-1）•3ⁿ

=1+2•

3(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n

=3ⁿ-2-（2n-1）•3ⁿ

∴sn=(n-1)•3n+1