问题
解答题
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（
（1）验证函数f（x）=ln
（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明； （3）若f（-
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答案
（1）由
＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1），x+y 1+xy
又f（x）+f（y）=ln
+ln1-x 1+x
=ln（1-y 1+y
•1-x 1+x
）1-y 1+y
=ln
=ln1-x-y+xy 1+x+y+xy
=f（1- x+y 1+xy 1+ x+y 1+xy
）x+y 1+xy
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0
∴
＞11-x 1+x
∴ln
＞01-x 1+x
故f（x）=ln
满足这些条件．1-x 1+x
（2）这样的函数是奇函数．
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
这样的函数是减函数．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（
）x-y 1-xy
当-1＜x＜y＜1时，
＜0，由条件知f（x-y 1-xy
）＞0，即f（x）-f（y）＞0x-y 1-xy
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵f（-
）=11 2
∴f（
）=-11 2
原方程即为2f（x）=-1
即f（x）+f（x）=f（
）=f（2x 1+x2
）1 2
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∴
=2x 1+x2 1 2
∴x2-4x+1=0
解得x=2±3
又∵x∈（-1，1）
∴x=2-3