（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，

∴x＞0，f′（x）=lnx+1，

由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1

e

，

∴f（x）的增区间是（

1

e

，+∞）．

由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜

1

e

，

∴f（x）的减区间是（0，

1

e

）．

∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，

∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）_max=f（e）=elne=e．

（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max．

当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．

∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．

∴[f（x）]_max=f（e）=e．

∵g(x)=x+

a2

x

，（a＞0），

∴g ′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0．

①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＞0，

∴函数g(x)=x+

a2

x

，在[1，e]上是增函数，

∴[g（x）]_min=g（1）=1+a²．

由1+a²≥e，得a≥

e-1

，

又0＜a＜1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时，

若1≤x＜a，则g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＜0，

若a＜x≤e，则g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＞0．

∴函数g(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．

∴[g（x）]_min=g（a）=2a．

由2a≥e，得a≥

e

2

，

又1≤a≤e，∴

e

2

≤a≤e．

③当a＞e且x∈[1，e]时，g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＜0，

∴函数g(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数．

∴[g(x)]min=g(e)=e+

a2

e

．

由e+

a2

e

≥e，得a∈R，

又a＞e，∴a＞e． （15分）

综上所述，a的取值范围为[

e

2

，+∞)．