问题
解答题
已知f（x）=
（1）求证：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间； （2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明． |
答案
（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，…（1分）
∵f（-x）=
=-(-x)3-(-x)-3 5
=-f(x)，x3-x-3 5
∴f（x）是奇函数．…（4分）
设0＜x1＜x2，f(x1)-f(x2)=
(1 5
-x 31
)-x -31
(1 5
-x 32
)=x -32
(1 5
-x 31
)(1+x 32
)，…（6分）1 x 31 x 32
∵y=x3r上是增函数，故
＜x 31
，x 32
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
∴函数f（x）的增区间是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）f(4)-5f(2)g(2)=
-5×43-4-3 5
⋅23-2-3 5
=23+2-3 5
-43-4-3 5
=0，．…（12分）43-4-3 5
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x2）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
证明：∵f(x2)-5f(x)g(x)=
-5×x6-x-6 5
⋅x3-x-3 5
=x3+x-3 5
-x6-x-6 5
=0．x6-x-6 5
∴等式成立．…（16分）
