问题
解答题
| 数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）． （1）求a7，a5，a3，a6； （2）求数列{an}的通项公式an； （3）求证：
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答案
（1）∵a1=1，an+3=an+3，
∴a4=4，a7=7
∵an+2≥an+2
∴a3≥3，a5≥a3+2，a7≥a5+2，
∴a5=5，a3=3，a6=a3+3=6
（2）∵an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）
∴an+3≤an+2+1（n∈N*）
∴an+1≤an+1，an+2≤an+1+1
∴an+1+an+2+an+3≤an+an+1+an+2+3，即an+3≤an+3
∴an+1=an+1，an+2=an+1+1，an+3=an+2+1
∴{an}为等差数列，公差d=1．
∴an=n
（3）证明：n=1时，
=1＜2成立n＞1时，1 a12
∵
=1 an2
＜1 n2
=1 n(n-1)
-1 n-1
（n＞1）1 n
∴
+1 a12
+1 a22
+…+1 a32 1 an2
＜1+(1-
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n-1
)=2-1 n
＜21 n
∴
+1 a12
+1 a22
+…+1 a32
＜21 an2