已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十

问题解答题

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n均有

mb2

m2b3

+…+

mn-1bn

=（n+1）a_n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c_n}的前n项和S_n．

答案

（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，整理得2a₁d=d²．

∵a₁=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），

∴a_n=2n-1

由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，

易求得b_n=3^n-1

（2）当n=1时，c₁=6；

当n≥2时，

mn-1bn

=（n+1）a_n+1-na_n=4n+1，

∴c_n=（4n+1）m^n-1b_n=（4n+1）（3m）^n-1．

∴c_n=

6	n=1
(4n+1)(3m)n-1	n=2，3，4

当3m=1，即m=

时，

S_n=6+9+13+…+（4n+1）

=6+

(n-1)(9+4n+1)

=6+（n-1）（2n+5）=2n²+3n+1．

当3m≠1，即m≠

时，

S_n=c₁+c₂++c_n，即

S_n=6+9•（3m）+13•（3m）²++（4n-3）（3m）^n-2+（4n+1）（3m）^n-1．①

3mS_n=6•3m+9•（3m）²+13•（3m）³++（4n-3）（3m）^n-1+（4n+1）（3m）ⁿ．②

①-②得

（1-3m）S_n=6+3•3m+4•（3m）²+4•（3m）³++4•（3m）^n-1-（4n+1）（3m）ⁿ

=6+9m+4[（3m）²+（3m）³++（3m）^n-1]-（4n+1）（3m）ⁿ

=6+9m+

4[(3m)2-(3m)n]

1-3m

-（4n+1）（3m）ⁿ．

∴S_n=

6+9m-(4n+1)(3m)n

1-3m

4[(3m)2-(3m)n]

(1-3m)2

．

∴S_n=

m≠