参考答案：

解析： 由于等式两边都含有未知函数f(t)，要求出f(t)的表达式，必须对等式两边求导数得到一个微分方程，再解此微分方程即可得到f(t)的表达式．
注意等式右侧含有二重积分，积分区域D是以原点为中心，半径为t的圆域x²+y²≤t²，被积函数

是以x²+y²为变量的函数，可化为极坐标系下的二重积分来计算．
令x=rcosθ，y=rsinθ，则

于是f(t)=t²+2π

rf(r)dr，两边对t求导得一阶线性微分方程f’(t)=2t+2πtf(t)，可
解得
f(t)=Ce^πt2-

．
又由原方程得f(0)=0，由此可确定常数C=

．
于是f(t)=

(e^πt2-1)．