参考答案：0；400

解析： 首先求f(x，y)在区域D内的驻点或至少有一个偏导数不存在的点处的函数值．由于f在D内可导，因而不存在偏导数不存在的点．令

=2x=0与

=2y=0，可得f在D内有且仅有一个驻点(0，0)，且f(0，0)=0．
其次求f(x，y)在区域D的边界x²+y²+8x-6y=200上的最大值与最小值，这是求函数f(x，y)=x²+y²在条件x²+y²+8x-6y-200=0之下的最值问题，用拉格朗日乘数法，引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=x²+y²+λ²+y²+8x-6y-200)，求
F(x，y，λ)的驻点，令

由于当λ=0时由①，②分别得到x=0，y=0不可能满足条件③，因而λ≠0．由①，②消去λ即得

把

代入方程③可得

进而可解出y₁=12，y₂=-6．对应的x₁=-16，x₂=8，即共有两个驻点(-16，12)与(8，-6)．
比较f(0，0)=0，f(-16，12)=400，f(8，-6)=100，可见函数f(x，y)在D上的最小值为f(0，0)=0，最大值为f(-16，12)=400．
本题的几何意义是在区域D上求与原点距离最近与距离最远的点．由于D的边界是圆C：(x+4)²+(y-3)²=15²，可见坐标原点(0，0)在D内，显然它就是D上与原点距离最近的点．而点(-16，12)与(8，-6)努别是圆C过原点(0，0)的直径与圆C的交点．由几何意义知它们分别是圆C上(即D的边界上)与原点(0，0)距离最远与距离最近的点．从而(-16，12)是D上与原点(0，0)距离最远的点．