问题
解答题
已知数列{an}中，a1=6，an+1=an+1，数列{bn}，点（n，bn）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=2 bn，在ak与ak+1之间插入k个ck，依次构成新数列，试求该数列的前2013项之和； （3）对任意正整数n，不等式（1+
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答案
（1）∵an+1-an=1且a1=6，∴an=n+5，…（1分）
设l上任意一点P（x，y），则
=（x，y-1），AP
由已知可得
∥AP
．BC
∴y=2x+1，又l过点（n，bn），
∴bn=2n+1．…（4分）
（2）新数列：a1，c1，a2，c2，c2，a3，c3，c3，c3，a4，…，ak，ck，…，ak+1，
共计项数：k+1+
•kk+1 2
经估算k=62，k+1+
•k=2016，项数接近2013，…（5分）k+1 2
∴S2013=（a1+a2+…+a62）+（1×c1+2×c2+…+62×c62）-2c62 …（6分）
令T=1×c1+2×c2+…+62×c62，
T=1×23+2×25+3×27+…+62×2125
4T=1×25+2×27+…+61×2125+62×2127
两式相减得：T=
…（8分）8+185×2127 9
∴S2013=
+6+67 2
-2×2125=2263+8+185×2127 9
．…（9分）8+722×2125 9
（3）变量分离得：a≤
恒成立．…（10分）(1+
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)1 bn 2n+3
令g（n）=
…（11分）(1+
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)1 bn 2n+3
∴
=g(n+1) g(n)
×(1+
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)(1+1 bn
)1 bn+1 2n+5 2n+3 (1+
)(1+1 b1
)×…×(1+1 b2
)1 bn
=
≥1…（13分）2n+4 2n+3 2n+5
∵{g（n）}递增数列．
∴a∈（0，g（1））=（0，4 15
]．…（14分）5