已知数列{an}满足：a1+3a2+…+(2n-1)an=(2n-3)•2n+1

问题解答题

已知数列{a_n}满足：a1+3a2+…+(2n-1)an=(2n-3)•2n+1，数列{bn}的前n项和Sn=2n2+n-2．求数列{an•bn}的前n项和Wn．

答案

当n≥2时，(2n-1)•an=(2n-3)•2n+1-（2n-5）•2ⁿ=2ⁿ（2n-1），

∴an=2n．

∵a₁=-4，∴an=

4，n=1

2n，n≥2

，

当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=4n-1，

∵b₁=1，∴bn=

1，n=1

4n-1，n≥2

．

①Wn=-4+[22×7+23×11+…+2n×(4n-1)]，

记s=2²×7+2³×11+2⁴×15+…+2ⁿ×（4n-1），

∴2s=2³×7+2⁴×11+…+2ⁿ（4n-5）+2ⁿ⁺¹（4n-1）②，

①-②得-s=28+4（2³+2⁴+…+2ⁿ）-2ⁿ⁺¹（4n-1）

=28+32（2^n-2-1）-2ⁿ⁺¹（4n-1）

=-4+2ⁿ⁺¹（5-4n），

∴s=4+2ⁿ⁺¹（4n-5），

∴Wn=2n+1(4n-5)．