由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．

①对于函数y=x²，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y-1=

4-1

2-1

（x-1），即y=3x-2

|MN|=|x²-（3x-2）|=|（x-

3

2

）²-

1

4

|≤

1

4

，线性近似阀值为

1

4

．

②同样对于函数y=

2

x

，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=-x+3，|MN|═-x+3-

2

x

=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，线性近似阀值为3-2

2

．

③同样对于函数y=sin

π

3

x，A（1，

3

2

），B（2，

3

2

），AB方程为y=

3

2

，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-

3

2

，线性近似阀值为1-

3

2

，

④同样对于函数y=x-

1

x

，得A（1，0），B（2，

3

2

），

∴直线AB方程为y=

3

2

（x-1）

∴|MN|=|=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

，线性近似阀值为

3

2

-

2

．

由于为

1

4

＞3-2

2

＞1-

3

2

＞

3

2

-

2

．所以线性近似阀值最小的是y=x-

1

x

故选D