设f(x)是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间，对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
(1)证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1，1)为含峰区间；
(2)对给定的r(0＜r＜0.5)，证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2-x1≥2r，使得由(l)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．
参考答案：
(1)证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，
当f(x1)≥f(x2)时，假设
，则x1＜x2＜x*，从而f(x*)≥f(x2)＞f(x1)，这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0，x2)，即(0，x2)为含峰区间．
当f(x1)≤f(x2)时，假设
，则x*≤x1＜x2，从而f(x*)≥f(x1)>f(x2)这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1，1)，即(x1，1)为含峰区间
(2)证明：由(1)的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1=x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1-x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得1+x2-x1≤1+2r，即x2-x1≤2r，
又因为x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r ②
将②代入①得x1≤0.5-r，x2≥0.5+r， ③
由①和③解得x1=0.5-r，x2=0.5+r，
所以这时含峰区间的长度l1=l2=0.5+r，
即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．