设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N+，都有ban-2n=（b-1）Sn，

问题解答题

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．

（1）当b=2时，求{b_n}的通项公式，进而求出{a_n}的通项公式；

（2）当b≠2时，求数列{a_n}的通项a_n以及前n项和S_n．

答案

由题意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1．

两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，

即an+1=ban+2n．①

（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n，

∴an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)，

又a1-1×21-1=2-1=1≠0，

所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．

可得，bn=2n-1，

由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)•2n-1．

（2）当b≠2时，由①得

an+1-

2-b

•2n+1=ban+2n-

2-b

•2n+1=ban-

2-b

•2n=b(an-

2-b

•2n)

若b=0，an=

2，n=1

2n-1，n≥2

，Sn=2n；

若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2；

若b≠0，1，数列{an-

2-b

•2n}是以

2(1-b)

2-b

为首项，以b为公比的等比数列，

故an-

2-b

•2n=

2(1-b)

2-b

•bn-1，

∴an=

2-b

[2n+(2-2b)bn-1]，

∴S_n=

2-b

(2+22+23+…+2n)+

2(1-b)

2-b

(1+b+b2+…+bn-1)

2-b

2(2n-1)

2-1

2(1-b)

2-b

bn-1

b-1

2(2n-bn)

2-b

当b=1时，Sn=2n+1-2也符合上式．

所以，当b≠0时，Sn=

2(2n-bn)

2-b

．