问题
解答题
| 已知点Pn（an，bn）（n∈N*）都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）若f(n)=
（Ⅲ）求证：
|
答案
（Ⅰ）由题意知P1（-1，0）（1分）
∴a1=-1，b1=0（2分）
∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k为奇数，
则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解（6分）
若k为偶数，
则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）证明：|
|2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)2p1pn
（1）当n=2时
+1 |p1p2|2
++1 |p2p3|2
=1 |p1pn|2
＜1 5
成立．（11分）2 5
（2）当n≥3，n∈N*时，
+1 |p1p2|2
++1 |p1p3|2
=1 |p1pn|2
[1 5
+1 12
++1 22
]λx12-2λx1+λ-1=0．（12分）1 (n-1)2
=
(1+1-1 5
)＜1 n-1
(1+1)=1 5
成立．（13分）2 5
综上，当n≥2，n∈N*时，
+1 |p1p2|2
+1 |p1p3|2
＜1 |p1pn|2
成立．（14分）2 5