张某2008年2月年应聘至某报社，双方达成口头协议，约定张某在某报社从事兼职校对员工作，每天下午到报社工作4小时，每周工作五天，报社对张某进行考勤管理。张某在报社的劳动待遇与校对量挂钩，与该报社全日制职工的待遇不同。2012年10月15日，报社以张某在从事校对工作时出现重大差错、严重违反单位规章制度为由，作出了“取消张某临时校对资格”的处理决定，并于当日口头对张某予以辞退。张某向劳动仲裁委员会申请仲裁，请求确认张某与某报社之间的劳动关系，要求与报社签订并继续履行劳动合同。报社认为，其与张某之间不存在劳动关系，张某基于劳动关系的请求没有法律依据。请回答：

张某与某报社之间是否存在劳动关系？为什么？如果是劳动关系，是全日制还是非全日制劳动用工关系？为什么？