已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有Sn=n2+12an．（1

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有S_n=n²+

a_n．
（1）证明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设f（n）=（1-

）（1-

）..（1-

）

2n+1

，求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．

答案

（1）∵S_n=n²+

a_n．①

∴S_n+1=（n+1）²+

a_n+1．②

∴②-①得：a_n+1+a_n=4n+2；

（2）∵a_n+1+a_n=4n+2；

∴a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）；

又a₁=2

∴a_n=2n

（3）∵f（n）=（1-

）（1-

）…（1-

）

2n+1

∴

f(n+1)

f(n)

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1

∴f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．