问题
解答题
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}满足a1cn+a2cn-1+…+an-1c2=2n+1-n-2对任意n∈N*都成立；求证：数列{cn}是等比数列．
答案
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0）
由题意得d+3q=7 q+q2-d=5
解得
，d=1 q=2
∴an=n，bn=3×2n-1；
（Ⅱ）由cn+2cn-1+…+（n-1）c2+nc1=2n+1-n-2
知cn-1+2cn-2+…+（n-2）c2+（n-1）c1=2n-（n-1）-2（n≥2）
两式相减：cn+cn-1+…+c2+c1=2n-1（n≥2）
∴cn-1+…+c2+c1=2n-1-1（n≥3）
∴cn=2n-1（n≥3）
当n=1，2时，c1=1，c2=2，适合上式．
∴cn=2n-1（n∈N*）．
即{cn}是等比数列
