问题
解答题
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
（1）求数列{an}的通项公式； （2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由； （3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由． |
答案
（1）∵
=f(1 an+1
)=1 an
=1 an b
+11 an 1 an+b
∴an+1=an+b，∴数列{an}是以b为公差的等差数列
∵a1=a，∴an=a+（n-1）b
（2）当a=8b时，an=（n+7）b
∴b1=8b，b2=12b，∴q=
，∴bn=8b•(3 2
)n-13 2
∴b3=18b，b4=27b，b5=
b81 2
显然，
不是整数，即b5∉{an}，∴{bn}是项数最多为4的有穷数列81 2
（3）∵b2=（m+7）b，∴q=
，此时bn=8(m+7 8
)n-1bm+7 8
i）当m=8k+1（k∈N）时，
=k+1为正整数，m+7 8
此时{bn}中每一项均为{an}中的项，∴{bn}为无穷数列；
ii）当m=8k+5（k∈N）时，
=m+7 8 2k+3 2
此时当n=1，2，3，4，8(
)n-1为大于8的正整数，2k+3 2
但n=5时，8(
)4不是正整数，∴此时{bn}是项数最多为4的有穷数列；2k+3 2
iii）当m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）时，
此时
为分母是4或8的最简分数，m+7 8
只有当n=1，2时，8(
)n-1才是大于8的正整数，2k+3 2
而当n≥3时，8(
)n-1均为分数，∵{bn}仅有两项，∴此时{bn}不能构成等比数列．2k+3 2