不妨设OA的倾斜角为锐角

∵向量

BF

与

FA

同向，，

∴渐近线l₁的倾斜角为（0，

π

4

），

∴渐近线l₁斜率为：k=

b

a

＜1，∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e²＜2

∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，

∴|AB|=2（|OB|-|OA|）

∴|OB|-|OA|=

1

2

|AB|

∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列

∴|OA|+|OB|=2|AB|

∴|OA|=

3

4

|AB|

∴在直角△OAB中，tan∠AOB=

4

3

由对称性可知：OA的斜率为k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB）

∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）；

∴

b

a

=

1

2

，∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1=

1

4

∴e²=

5

4

∴e=

5

2

故答案为

5

2

．