问题
解答题
| 设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v| （Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x （Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1 （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得
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答案
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，
当|u-v|≤1时，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
当|u-v|≤1时，u•v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，则v-u＞1
从而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
综上可知，对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
u，v∈[
，1]得|f(1 2
)-f(1)|=|1 2
-1|=1 2 1 2
又f（1）=0，所以|f(
)|=1 2
①1 2
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
由条件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
u，v∈[0，
]得|f(1 2
)|=|f(1 2
)-f(0)|＜|1 2
-0|=1 2 1 2
所以|f(
)|＜1 2
②1 2
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．
