问题
解答题
已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=-an+
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求Tn； （3）设An=2Tn，Bn=（2n+4）Sn+3，试比较An与Bn的大小． |
答案
（1）当n=1时，由已知可得，S1=a1=-a1+
(1-3)1 2
解得a1=-
…2分1 2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-an+
（n-3）-[-an-1+1 2
（n-4）]1 2
解得 an=
an-1+1 2
，即an-1 4
═1 2
(an-1-1 2
)1 2
因此，数列{an-
}是首项为-1，公比为 1 2
的等比数列1 2
∴an-
=-(1 2
)n-11 2
∴an=
-1 2 1 2n-1
（II）∵nan=
-n 2 n 2n-1
∴Tn=（1+2+3+…+n）-（1+2×
+3×1 2
+…+n×1 22
）…6分1 2n-1
令Un=1+2×
+3×1 2
+…+n×1 22 1 2n-1
则
Un=1 2
+2×1 2
+3×1 22
+…+n×1 23
．1 2n
上面两式相减：
Un=1+1 2
+1 2
+…+1 22
-n×1 2n-1 1 2n
=
-n•1- 1 2n 1- 1 2
，1 2n
即Un=4-n+2 2n-1
∴Tn=
-4+n(n+1) 4
=n+2 2n-1
+n2+n-16 4 n+2 2n-1
（III）∵Sn=-an+n-3 2
=-
+1 2
+1 2n-1 n-3 2
=
+n-4 2 1 2n-1
∴An-Bn=
+n2+n-16 2
-n+2 2n-2
-(2n+4)(n-4) 2
-3n+2 2n-2
=-n2+5n-6 2
∵当n=2或n=3时，
的值最大，最大值为0，-n2+5n-6 2
∴An-Bn≤0．
∴An≤Bn．