已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,对x1、x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有
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任取x1、x2∈[-1,1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
∵
>0,f(x1)+f(x2) x1+x2
即
>0,∴f(x1)+f(-x2) x1-x2
>0f(x1)-f(x2) x1-x2
∵x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x)是[-1,1]上的增函数,
要使f(x)≤m2+2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
只须f(x)max≤m2+2am+1,即1≤m2+2am+1对任意的a∈[-1,1]恒成立,
亦即m2+2am≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=2ma+m2,
只须
,解得m≤-2或m≥2或m=0,g(-1)=-2m+m2≥0 g(1)=2m+m2≥0
故答案为m≤-2或m≥2或m=0.