问题
解答题
数列{an}的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，sn，an2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）正数数列{cn}中，an+1=(cn)n+1，（n∈N°）．求数列{cn}中的最大项．
答案
（Ⅰ）由已知：对于任意n∈N*，总有2sn=an+an2①成立
∴2sn-1=an+an-12（n≥2）②
①--②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵各项都均为正数，
∴an-an-1=1 （n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2s1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．
（Ⅱ）由已知 a2=c12=2可得c1=2
a3=c23=3可得，c2=3 3
a4=c34=4可得c3=4 4
a5=c45=5可得c4=5 5
易得 c1＜c2＞c3＞c4
猜想 n≥2 时，{cn}是递减数列．
令f(x)=lnx x
∴f′(x)=
=
•x-lnx1 x x2 1-lnx x2
∵当x≥3时lnx＞1，则1-lnx＜0，即f‘（x）＜0
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=(cn)n+1，可得cn=
．ln(n+1) n+1
∴n≥2 时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为c2=
．3 3