问题
解答题
| 已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明
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答案
（I）设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1．
（II）证明：因为
=1 an+1-an
=1 2n+1-2n
，1 2n
所以
+1 a2-a1
+…+1 a3-a2
=1 an+1-an
+1 21
+1 22
+…+1 23
=1 2n
=1-
-1 2
×1 2n 1 2 1- 1 2
＜1，1 2n
即得证．