问题
解答题
已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明
|
答案
(I)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.
所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
(II)证明:因为
=1 an+1-an
=1 2n+1-2n
,1 2n
所以
+1 a2-a1
+…+1 a3-a2
=1 an+1-an
+1 21
+1 22
+…+1 23
=1 2n
=1-
-1 2
×1 2n 1 2 1- 1 2
<1,1 2n
即得证.